Метод знакотождественных множителей. Метод рационализации

Определение. Два алгебраических выражения a(x) и b(x) называются знакотождественными, если они имеют соответственно одни и те же промежутки знакоположительности, знакоотрицательности и нули.

a) Замена знакопостоянных множителей
\(1) (ax^{2})+bx+c) \leftrightarrow 1 \; (a>0; D<0) \\ 2) (ax^{2})+bx+c) \leftrightarrow -1 \; (a<0; D<0) \\ 3) (\left | f \right |+\left | g \right |)\leftrightarrow 1 \; (\left | f \right |+\left | g \right |\neq 0) \\ 4) (\sqrt{f}+\sqrt{g})\leftrightarrow 1 \; (\sqrt{f}+\sqrt{g}\neq 0)\\ 5) (\sqrt{f}+\left | g \right |)\leftrightarrow 1 \; (\sqrt{f}+\left | g \right |\neq 0)\\ 6) (\left | f \right |+ g)\leftrightarrow 1 \; (g>0) \\ 7) (\sqrt{f}+ g)\leftrightarrow 1 \; (g>0) \\ 8)a^f \leftrightarrow 1 9) (a^f+\sqrt{g})\leftrightarrow 1 (g\geq 0)\\ 10)(a^f+\left | g \right |)\leftrightarrow 1\\ 11)(a^f+a^g+a^n+...)\leftrightarrow 1\)

б) Замена незнакопостоянных множителей с модулем

\(12) (|f|-|g|)\leftrightarrow f^2-g^2=(f-g)(f+g)\\ 13) (|f|-g)\leftrightarrow f^2-g^2=(f-g)(f+g), (g\geq 0)\\ 14) (|f|-(ax^2+bx+c))\leftrightarrow (f-(ax^2+bx+c))(f+(ax^2+bx+c)), (a>0; D<0)\\ 15) (|f|-\sqrt{g})\leftrightarrow f^2-g\\ 16) (\sqrt{f}-g)\leftrightarrow f-g^2 (g\geq 0)\\ 17) (\sqrt{f}-\sqrt{g})\leftrightarrow f-g\\ 18) (\sqrt{f}-\sqrt{|g|})\leftrightarrow f^2-g^2=(f-g)(f+g)\\ 19) (\sqrt{|f|}-g) \leftrightarrow (f-g^2)(f+g^2),(g\geq 0)\\ 20) (|f|-\sqrt{|g|}) \leftrightarrow (f^2-g)(f^2+g) \\ 21) (\sqrt{|f|}-\sqrt{|g|}) \leftrightarrow (f-g)(f+g)\\ 22)|f| \leftrightarrow f^2\\ 23) \sqrt{f} \leftrightarrow f\\ 24) \sqrt{|f|} \leftrightarrow f^2\)

в) Замена незнакопостоянных множителей с показательными и логарифмическими функциями

\(25) (a^f-a^g)\leftrightarrow (f-g)(a-1)\\ 26) (a^f-g) \leftrightarrow (f-log_{a}g)(a-1),(g\geq 0)\\ 27) (a^f-1) \leftrightarrow f(a-1)\\ 28) (log_{a}f-log_{a}g) \leftrightarrow (f-g)\\ 29) (log_{a}f+log_{a}g) \leftrightarrow (f\cdot g-1)(a-1)\\ 30) (log_{a}f-g) \leftrightarrow (f-a^q)(a-1)\\ 31) (log_{a}f+g) \leftrightarrow (f\cdot a^q-1)\\ 32) (log_{a}f-1) \leftrightarrow (f-a)(a-1)\\ 33) log_{a}f \leftrightarrow (f-1)(a-1)\)

Решение логарифмических неравенств с переменным основанием

\[log_{h(x)}f(x) \leftrightarrow \frac{f(x)-h^{b}(x)}{h(x)-1}, (f(x)>0,h(x)>0)\]