Тригонометрический круг. Формулы тригонометрии

Тригонометрический круг

Свойства функций

$$arcsin(-x)=-arcsin(-x)$$ $$arccos(-x)=\pi-arccos(-x)$$ $$arctg(-x)=-arctg(-x)$$

Тригонометрические формулы

$$tg^{2}x+1=\frac{1}{cos^{2}x}$$ $$ctg^{2}x+1=\frac{1}{sin^{2}x}$$

Основное тригонометрическое тождество

$$sin^{2}x+cos^{2}x=1$$

Двойные углы

$$sin2x = 2sinxcosx$$ $$cos2x = cos^{2}x- sin^{2}x$$ $$tg2x = \frac{2tgx}{1-tg^{2}x}$$

Формулы понижения степени

$$sin^{2}\frac{\alpha }{2}=\frac{1-cos\alpha }{2}$$ $$cos^{2}\frac{\alpha }{2}=\frac{1+cos\alpha }{2}$$

Универсальная подстановка

$$sin\alpha = \frac{2 tg\frac{\alpha}{2} }{1+ tg^{2}\frac{\alpha}{2}}$$ $$cos\alpha = \frac{1- tg^{2}\frac{\alpha}{2} }{1+ tg^{2}\frac{\alpha}{2}}$$ $$tg\alpha = \frac{2tg\frac{\alpha}{2} }{1 - tg^{2}\frac{\alpha}{2}}$$ $$tg\alpha = \frac{{1 - tg^{2}\frac{\alpha}{2}}}{2tg\frac{\alpha}{2} }$$

Формулы сложения

$$sin(\alpha \pm \beta )=sin\alpha cos\beta \pm cos\alpha sin\beta$$ $$cos(\alpha \pm \beta )=cos\alpha cos\beta \mp sin\alpha sin\beta$$ $$tg(\alpha \pm \beta )=\frac{tg\alpha \pm tg\beta }{1\mp tg\alpha tg\beta }$$

Суммы тригонометрических функций

$$sin\alpha + sin\beta = 2 sin \frac{\alpha + \beta }{2} cos \frac{\alpha - \beta }{2}$$ $$sin\alpha - sin\beta = 2 sin \frac{\alpha - \beta }{2} cos \frac{\alpha + \beta }{2}$$ $$cos\alpha + cos\beta = 2 cos \frac{\alpha + \beta }{2} cos \frac{ \beta - \alpha }{2}$$ $$cos\alpha - cos\beta = 2 sin \frac{\alpha + \beta }{2} sin \frac{\beta - \alpha }{2}$$

Произведения тригонометрических функций

$$2cos\alpha cos\beta = cos \left ( \alpha +\beta \right ) + cos \left ( \alpha - \beta \right )$$ $$2sin\alpha sin\beta = cos \left ( \alpha -\beta \right ) - cos \left ( \alpha + \beta \right )$$ $$2sin\alpha cos\beta = sin \left ( \alpha + \beta \right ) + sin \left ( \alpha - \beta \right )$$