Тригонометрический круг. Формулы тригонометрии

Тригонометрический круг

Свойства функций

\[arcsin(-x)=-arcsin(-x)\] \[arccos(-x)=\pi-arccos(-x)\] \[arctg(-x)=-arctg(-x)\]

Тригонометрические формулы

\[tg^{2}x+1=\frac{1}{cos^{2}x}\] \[ctg^{2}x+1=\frac{1}{sin^{2}x}\]

Основное тригонометрическое тождество

\[sin^{2}x+cos^{2}x=1\]

Двойные углы

\[sin2x = 2sinxcosx\] \[cos2x = cos^{2}x- sin^{2}x\] \[tg2x = \frac{2tgx}{1-tg^{2}x}\]

Формулы понижения степени

\[ sin^{2}\frac{\alpha }{2}=\frac{1-cos\alpha }{2} \] \[ cos^{2}\frac{\alpha }{2}=\frac{1+cos\alpha }{2} \]

Универсальная подстановка

\[ sin\alpha = \frac{2 tg\frac{\alpha}{2} }{1+ tg^{2}\frac{\alpha}{2}} \] \[ cos\alpha = \frac{1- tg^{2}\frac{\alpha}{2} }{1+ tg^{2}\frac{\alpha}{2}} \] \[ tg\alpha = \frac{2tg\frac{\alpha}{2} }{1 - tg^{2}\frac{\alpha}{2}} \] \[ tg\alpha = \frac{{1 - tg^{2}\frac{\alpha}{2}}}{2tg\frac{\alpha}{2} } \]

Формулы сложения

\[ sin(\alpha \pm \beta )=sin\alpha cos\beta \pm cos\alpha sin\beta \] \[ cos(\alpha \pm \beta )=cos\alpha cos\beta \mp sin\alpha sin\beta \] \[ tg(\alpha \pm \beta )=\frac{tg\alpha \pm tg\beta }{1\mp tg\alpha tg\beta } \]

Суммы тригонометрических функций

\[ sin\alpha + sin\beta = 2 sin \frac{\alpha + \beta }{2} cos \frac{\alpha - \beta }{2} \] \[ sin\alpha - sin\beta = 2 sin \frac{\alpha - \beta }{2} cos \frac{\alpha + \beta }{2} \] \[ cos\alpha + cos\beta = 2 cos \frac{\alpha + \beta }{2} cos \frac{ \beta - \alpha }{2} \] \[ cos\alpha - cos\beta = 2 sin \frac{\alpha + \beta }{2} sin \frac{\beta - \alpha }{2} \]

Произведения тригонометрических функций

\[ 2cos\alpha cos\beta = cos \left ( \alpha +\beta \right ) + cos \left ( \alpha - \beta \right ) \] \[ 2sin\alpha sin\beta = cos \left ( \alpha -\beta \right ) - cos \left ( \alpha + \beta \right ) \] \[ 2sin\alpha cos\beta = sin \left ( \alpha + \beta \right ) + sin \left ( \alpha - \beta \right ) \]