ЕГЭ. Математика(профиль). Разбор задачи с экономическим содержанием из досрочного варианта 2018

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга. Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года) и банку будет выплачено 311 040 рублей?

Решение

$S_{0}$ - сумма кредита
$x$ - ежегодный платеж

$$1: \; 1,2S_{0}-x \\ 2: \; (1,2S_{0}-x)\cdot 1,2-x = (1,2)^{2}S_{0}-1,2x-x \\ 3: \; ((1,2)^{2}S_{0}-1,2x-x)\cdot 1,2-x = (1,2)^{3}S_{0}-(1,2)^{2}x-1,2x-x \\ 4: \; ((1,2)^{3}S_{0}-(1,2)^{2}x-1,2x-x)\cdot 1,2-x = (1,2)^{4}S_{0}-(1,2)^{3}x-(1,2)^{2}x-1,2x-x=\\(1,2)^{4}S_{0}-x((1,2)^{3}+(1,2)^{2}+1,2+1)) =(1,2)^{4}S_{0}-x(\frac{1-(1,2)^{5})}{1-1,2})=\\(1,2)^{4}S_{0}-x(\frac{-1,0736)}{-0,2})= (1,2)^{4}S_{0}-x(\frac{-1,0736)}{-0,2})=\\(1,2)^{4}S_{0}-5,368x = 0\\ x=\frac{311040}{4}=77\: 760 \\ (1,2)^{4}S_{0}-5,368\cdot 77\: 760 = (1,2)^{4}S_{0}-417\:415,68=0\\ (1,2)^{4}S_{0}=417\: 415,68\\ S_{0}=\frac{417415,68}{(1,2)^{4}}=201\: 300$$