ЕГЭ. Математика (профиль). Решение задачи на делимость

На доске написано \(n\) чисел \(a_{i},..., a_{n}\), каждое из которых не меньше 50, но не больше 150. Каждое из чисел \(a_{i}\) (1 ≤ \(i\) ≤ \(n\)  ) уменьшили на \(r_{i}\)% соответственно. При этом для каждого \(i\) (1 ≤ \(i\) ≤ \(n\) ) либо \(r_{i}\) = 2, либо число \(a_{i}\) уменьшилось на 2.
а) Может ли среднее арифметическое чисел \(r_{i},..., r_{n}\) быть равным 5?
б) Может ли оказаться, что среднее арифметическое чисел \(r_{i},..., r_{n}\) больше 2, а сумма чисел \(a_{i},..., a_{n}\) уменьшилась более чем на 2n?
в) Известно, что на доске написано 30 чисел и их сумма уменьшилась на 40. Найдите наибольшее значение среднего арифметического чисел \(r_{1},..., r_{30}\).

Решение 

а) Пусть \(a\) уменьшается на 2.

Представим пропорцию:

\(a_{i}\) - 100%

2 - \(r_{i}\)

Выразим из нее r_{i}.

\[r_{i}=\frac {2 \cdot 100}{a_{i}}=\frac {200}{a_{i}}\]

\(r_{i}\) будет максимальным, когда \(a_{i}\)  - минимальным. Из чисел наименьшее число 50. 

\[r_{i}=\frac {2 \cdot 100}{50}=4%\]

Максимальным значением r будет 4%.

Ответ: Нет.

б) Пусть  \(n\)=2, 

\(a_{1}\) = 150, \(a_{2}\) = 50, 

\(r_{1}\) = 2, \(r_{2}\) = 4.

\(\frac {a_{1}\cdot r_{1}}{100}=\frac {150\cdot 2}{100}\)=147

\(\frac {a_{2}\cdot r_{2}}{100}=\frac {50\cdot 4}{100}\)=48

\(r_{1}+r_{2}\) =3+2=5

5>2n

5>4

Ответ: Да.

в) \[n=30\]

\[S=\frac{a_{1}\cdot r_{1}}{100}+\frac{a_{2}\cdot r_{2}}{100}+...+\frac{a_{30}\cdot r_{30}}{100}=40\]

Нужно найти \[\frac{r_{1}+r_{2}+...+r_{30}}{30}\]

Пусть \(k\) чисел уменьшили на 2, тогда \((30-k)\) чисел уменьшили на 2%.

Так как каждое число не менее 50, каждое из чисел уменьшили  хотя бы на 1 (2% от 50):

\[S\geq 2k+30-k \\ S\geq k+30 \\ 40\geq k+30 \\ k\leq 10\]

Пусть \(a\) уменьшается на 2.

Представим пропорцию:

\(a_{i}\) - 100%

2 - \(r_{i}\)

Выразим из нее r_{i}.

\[r_{i}=\frac {2 \cdot 100}{a_{i}}=\frac {200}{a_{i}}\]

\(r_{i}\) будет максимальным, когда \(a_{i}\)  - минимальным. Из чисел наименьшее число 50. 

\[r_{i}=\frac {2 \cdot 100}{50}=4%\]

Максимальным значением r будет 4%.

Тогда 

\[\frac{r_{1}+r_{2}+...+r_{30}}{30}\leq \frac{\frac{200}{a_{i}}+\frac{200}{a_{i}}+...+\frac{200}{a_{i}} +2(30-k)}{30}\\ \frac{r_{1}+r_{2}+...+r_{30}}{30}\leq \frac{4k +2(30-k)}{30}\\ \frac{r_{1}+r_{2}+...+r_{30}}{30}\leq \frac{4k +60-2k}{30}\\ \frac{r_{1}+r_{2}+...+r_{30}}{30}\leq \frac{2k +60}{30}\\ \frac{r_{1}+r_{2}+...+r_{30}}{30}\leq \frac{2\cdot 10 +60}{30}\\ \frac{r_{1}+r_{2}+...+r_{30}}{30}\leq \frac{2\cdot 10 +60}{30}\\ \frac{r_{1}+r_{2}+...+r_{30}}{30}\leq \frac{8}{3}\\\]

Ответ: \(\frac{8}{3}\).