ЕГЭ. Математика (профиль). Решение задачи на делимость

На доске написано $n$ чисел $a_{i},..., a_{n}$, каждое из которых не меньше 50, но не больше 150. Каждое из чисел $a_{i}$ (1 ≤ $i$ ≤ $n$  ) уменьшили на $r_{i}$% соответственно. При этом для каждого $i$ (1 ≤ $i$ ≤ $n$ ) либо $r_{i}$ = 2, либо число $a_{i}$ уменьшилось на 2.
а) Может ли среднее арифметическое чисел $r_{i},..., r_{n}$ быть равным 5?
б) Может ли оказаться, что среднее арифметическое чисел $r_{i},..., r_{n}$ больше 2, а сумма чисел $a_{i},..., a_{n}$ уменьшилась более чем на 2n?
в) Известно, что на доске написано 30 чисел и их сумма уменьшилась на 40. Найдите наибольшее значение среднего арифметического чисел $r_{1},..., r_{30}$.

Решение 

а) Пусть $a$ уменьшается на 2.

Представим пропорцию:

$a_{i}$ - 100%

2 - $r_{i}$

Выразим из нее r_{i}.

$$r_{i}=\frac {2 \cdot 100}{a_{i}}=\frac {200}{a_{i}}$$

$r_{i}$ будет максимальным, когда $a_{i}$  - минимальным. Из чисел наименьшее число 50. 

$$r_{i}=\frac {2 \cdot 100}{50}=4%$$

Максимальным значением r будет 4%.

Ответ: Нет.

б) Пусть  $n$=2, 

$a_{1}$ = 150, $a_{2}$ = 50, 

$r_{1}$ = 2, $r_{2}$ = 4.

$\frac {a_{1}\cdot r_{1}}{100}=\frac {150\cdot 2}{100}$=147

$\frac {a_{2}\cdot r_{2}}{100}=\frac {50\cdot 4}{100}$=48

$r_{1}+r_{2}$ =3+2=5

5>2n

5>4

Ответ: Да.

в) $$n=30$$

$$S=\frac{a_{1}\cdot r_{1}}{100}+\frac{a_{2}\cdot r_{2}}{100}+...+\frac{a_{30}\cdot r_{30}}{100}=40$$

Нужно найти $$\frac{r_{1}+r_{2}+...+r_{30}}{30}$$

Пусть $k$ чисел уменьшили на 2, тогда $(30-k)$ чисел уменьшили на 2%.

Так как каждое число не менее 50, каждое из чисел уменьшили  хотя бы на 1 (2% от 50):

$$S\geq 2k+30-k \\ S\geq k+30 \\ 40\geq k+30 \\ k\leq 10$$

Пусть $a$ уменьшается на 2.

Представим пропорцию:

$a_{i}$ - 100%

2 - $r_{i}$

Выразим из нее r_{i}.

$$r_{i}=\frac {2 \cdot 100}{a_{i}}=\frac {200}{a_{i}}$$

$r_{i}$ будет максимальным, когда $a_{i}$  - минимальным. Из чисел наименьшее число 50. 

$$r_{i}=\frac {2 \cdot 100}{50}=4%$$

Максимальным значением r будет 4%.

Тогда 

$$\frac{r_{1}+r_{2}+...+r_{30}}{30}\leq \frac{\frac{200}{a_{i}}+\frac{200}{a_{i}}+...+\frac{200}{a_{i}} +2(30-k)}{30}\\ \frac{r_{1}+r_{2}+...+r_{30}}{30}\leq \frac{4k +2(30-k)}{30}\\ \frac{r_{1}+r_{2}+...+r_{30}}{30}\leq \frac{4k +60-2k}{30}\\ \frac{r_{1}+r_{2}+...+r_{30}}{30}\leq \frac{2k +60}{30}\\ \frac{r_{1}+r_{2}+...+r_{30}}{30}\leq \frac{2\cdot 10 +60}{30}\\ \frac{r_{1}+r_{2}+...+r_{30}}{30}\leq \frac{2\cdot 10 +60}{30}\\ \frac{r_{1}+r_{2}+...+r_{30}}{30}\leq \frac{8}{3}\\$$

Ответ: $\frac{8}{3}$.